Filsafat merupakan salah satu filsafat ilmu khusus yang merupakan cabang dari filsafat ilmu seumumnya ( Philosophy of Science-in-General ). Filsafat matematik menurut para filsuf merupakan pemikiran filsafat tentang matematik untuk memperoleh pemahaman menganai segenap segi apa dan bagaimana matematik itu. Usaha untuk memahami segenap aspek dari matematika telah menumbuhkan bidang pengetahuan filsafat matematik yang sangat luas pada dewasa ini. Pembahasan dalam filsafat matematik tidak terlepas dari filsafat ilmu dan filsafat pada umumnya.
Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematik merupakan hasil pemikiran filsafati yang sasarannya ialah matematik itu sendiri. Filsafat sebagai rangkaian aktivita dari budi manusia pada dasarnya adalah pemikiran reflektif (reflective thinking). Pemikiran reflektif dapat dicirikan sebagai jenis pemikiran yang terdiri atas mempertimbangkan secara cermat suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang sungguh-sungguh dan terus menerus.
Dengan demikian filsafat matematik pada dasarnya adalah pemikiran reflektif terhadap matematik. Matematik menjadi pokok soal yang dipertimbangkan secara cermat dan dengan penuh perhatian. Pemikiran filsafat matematik juga bersifat reflektif dalam arti menengok diri sendiri untuk memahami bekerjanya budi itu sendiri.
A. Logika
Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa.
Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (Latin: logica scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur.Ilmu disini mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal.
· Logika sebagai ilmu pengetahuan
Logika dimulai sejak Thales(624 SM – 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.
Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif.
Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica. Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu.
Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:
- Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan (karena tanpa air tumbuhan mati) - Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia - Air jugalah uap - Air jugalah es Jadi, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alam semesta.
Sejak saat Thales sang filsuf mengenalkan pernyataannya, logika telah mulai dikembangkan. Kaum Sofis beserta Plato (427 SM-347 SM) juga telah merintis dan memberikan saran-saran dalam bidang ini.
Pada masa Aristoteles logika masih disebut dengan analitica , yang secara khusus meneliti berbagai argumentasi yang berangkat dari proposisi yang benar, dan dialektika yang secara khusus meneliti argumentasi yang berangkat dari proposisi yang masih diragukan kebenarannya. Inti dari logika Aristoteles adalah silogisme.
Buku Aristoteles to Oraganon (alat) berjumlah enam, yaitu:
1. Categoriae menguraikan pengertian-pengertian
2. De interpretatione tentang keputusan-keputusan
3. Analytica Posteriora tentang pembuktian.
4. Analytica Priora tentang Silogisme.
5. Topica tentang argumentasi dan metode berdebat.
6. De sohisticis elenchis tentang kesesatan dan kekeliruan berpikir.
Pada 370 SM - 288 SM Theophrastus, murid Aristoteles yang menjadi pemimpin Lyceum, melanjutkan pengembangn logika.
Istilah logika untuk pertama kalinya dikenalkan oleh Zeno dari Citium 334 SM - 226 SM pelopor Kaum Stoa. Sistematisasi logika terjadi pada masa Galenus (130 M - 201 M) dan Sextus Empiricus 200 M, dua orang dokter medis yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.
Porohyus (232 - 305) membuat suatu pengantar (eisagoge) pada Categoriae, salah satu buku Aristoteles.Boethius (480-524) menerjemahkan Eisagoge Porphyrius ke dalam bahasa Latin dan menambahkan komentar- komentarnya.Johanes Damascenus (674 - 749) menerbitkan Fons Scienteae.
Manusia menganalisa kenyataan,ia menganalisa gejala-gejala memisahkan, membedakan, melihat nuansa, menyelami dan dalam segala aktivitas itu ia melihat adanya keteraturan dan keterkaitan.Manusia mengenal sambil menganalisa dan bakat ini ada hubungannya dengan distansi yng aneh itu yang dapat diambil manusia terhadap dunia. Dalam hal iniia lain daripada makhluk-makhluk hidup lainnya..
Sejak dahulu kala filsafat nampaknya erat hubungannya dengan logika, kadang-kadang bahkan disamakan dengan logika. Dalam perkembangan filsafat banyak ilmu, yang semula merupakan bagian filsafat, melepaskan diri dari filsafat. Tetapi logika, walaupun sejak dulu dipandang sebagai bagian tersendiri , tak pernah dapat melepaskan diri sepenuhnya dari ikatannya dengan filsafat.
Logika menganalisa pengetahuan manusia dan proses terjadinya pengetahuan itu. Yang diselidiki bukan pengetahuan mengenai alam atau kebudayaan atau mengeani manusia, melainkan pengetahuan mengenai pengetahuan.Logika ini menelusuri bentuk-bentuk jalan pikiran atau penalaran.
2). Logika dalam abad pertengahan
Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.
Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika.
Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti:Petrus Hispanus (1210 - 1278) dan Roger Bacon (1214-1292).
Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian. William Ocham (1295 - 1349) .
Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning Human UnderstandingFrancis Bacon (1561 - 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum Scientiarum.J.S. Mills (1806 - 1873) melanjutkan logika yang menekankan pada pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic.
Lalu logika diperkaya dengan hadirnya pelopor-pelopor logika simbolik seperti: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) menyusun logika aljabar berdasarkan Ars Magna dari Raymundus Lullus. Logika ini bertujuan menyederhanakan pekerjaan akal budi dan lebih mempertajam kepastian.
Lalu Chares Sanders Peirce (1839-1914), seorang filsuf Amerika Serikat yang pernah mengajar di John Hopkins University,melengkapi logika simbolik dengan karya-karya tulisnya. Ia memperkenalkan dalil Peirce (Peirce's Law) yang menafsirkan logika selaku teori umum mengenai tanda (general theory of signs)
Puncak kejayaan logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970).Logika simbolik lalu diteruskan oleh Ludwig Wittgenstein (1889-1951), Rudolf Carnap (1891-1970), Kurt Godel (1906-1978), dan lain-lain.
3). Logika Modern
Dalam perkembangan Filsafat, nampak bahwa sebuah metafisika lain selalu berhubungan dengan logika yang berlainan. Hal ini terlihat dalam mazhab Stoa yang pernah mengembangkan logikanya sendiri. Berabad-abad lamanya logika ini kurang diperhatikan, tetapi sejak dikembangkannya logika simbolis, logika Stoa menjadi menarik perhatian lagi. Menurut Aristoteles mengerti suatu pengertian sekaligus berarti mengerti kenyataan ( logika berhubungan erat dengan ontology ). Silogistik ciptaaan Aristoteles ( teorinya mengenai silogisma ) merangkaikan pengertian dengan pengertian dan dengan demikian kita dapat meraih tata keadaan .
Berabad-abad lamanya orang mengira, bahwa logika itu identik dengan Aristoteles, pemantulan dari hukum-hukum abadi yang menentukan jalan pikiran kita, sehingga logika itu dapat dikembangkan tetapi tidak dapat diubah secara mendalam. Banyak pengarang berpendapat bahwa sejak jaman Yunani hanya dalam bidang logika tidak tercapai kemajuan yang hakiki. Pada abad pertengahan kadan-kadang menjumpai suatu usaha kearak logika, tetapi terutama Liebniz ( 1646-1716 ) dan ahli matematika Inggris Boole – lah yang menciptakan suatu matematika logis. Tetapi ini belum dapat dinamakan logika simbolik modern.
Sebuah perombakan total diakibatkan oleh karangan G. Frege (1848-1925 ) yang mengajarkan matematika di Jena ( Jerman ). Sistem logikanya disempurnakan dengan kode-kode yang lebih tepat dan dikembangkan lebih lanjut olreh Peano dan terutama dalam Principia Mathematica (1910-1913) karangan B. Russell dan A. N. Whitehead. Bedanya logika ini dengan logika klasik adalah cara penyimpulan semata-mata berdasarkan aksioma – aksioma, arinya menyimpulkan sesuatu dari beberapa aksioma yang jumlahnya terbatas yang ditambah dengan beberapa kaidah operasional ( kaidah yang mengatur cara penyimpulan, lepas dari motivasinya kaidah-kaidah tadi, dapat dinamakan aturan permainan ).” Semata- mata berdasarkan aksioma “ berarti bahwa sepertti dulu dipandang sebagai kaidah mengenai kenyataan yang tak dapat ditelusuri atau dimengerti. Dalam pandangan Russell aksioma tidak lagi berhubungan dengan kenyataan atau dengan pengertian.
Perbedaan kedua dengan logika klasik adalah logika ini semata-mata bersifat formal memakai simbol-simbol, menarik kesimpulan-kesimpulan, tanpa mengindahkan arti ( isi, materi ) simbol tadi. Salah satu ciri khas dalam logika Whitehead dan Russell ialah diselidiki juga benar tidaknya proposisi-proposisi ( “p” dan “q” ), sama seperti dalam daftar – daftar Stoa: logika bernilai kembar.
Berdampingan dengan logika proposisi (yang berdasarkan pernyataan-pernyataan), logika modern, sama dengan logika Aristoteles, juga mengenal logika golongan ( yang berkaitan dengan sifat-sifat yang juga dalam logika modern ini dapat dipakai glongan-golongan kosong (himpunan, bagian himpunan, himpunan rata-rata). Yang dimaksud dengan golongan merupakan perumusan mengenai syarat-syarat yang mendasari pengelompokan unsur-unsur tertentu. Secara ekstrem suatu proposisi benar dalam segala kemungkinan kebenaran daripada proposisi elementernya. Dalam hal itu syarat-syarat kebenaran bersifat tautologis.Wittgenstein berpendapat bahwa tautologis tidak mengatakan sesuatu mengenai kenyataan.
• Logika sebagai matematika murni
Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika simbolik). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.Puncak logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970).
• Manfaat logika
1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
7.
B. Mazhab Landasan Matematik
1). Mazhab Logisisme
Mazhab ini dipelopori oleh filsuf Inggris Bertrand Arthur William Russell. Tahun 1903 terbitlah buku karangan beliau The Principle of Mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematik murni semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan anatara matematik dan logika sebagai berikut:”Logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan matematik menjadi lebih logis. Akibaytnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkn untuk menarik suatu garis diantara keduanya : sesungguhnya dua hal itu merupakan sau. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa: logika merupakan masa muda dari matematik dan matematik merupakan masa dewasa dari logika”.
2). Mazhab landasan matematik formalisme
Mazhab ini dipelopori oleh ahli matematik dari Jerman yaitu David Hilbert. Menurut mazhab ini sifat alami dari matematik ialah sebagai sistem lambang yang formal. Matematik bersangkutpaut dengan sifat-sifat struktural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu. Simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu. Simbol-simbol dianggap mewakili pelbagai sasaran yang menjadi objek matematik.. Bilangan –bilangan dianggap sebagai sifat-sifat struktural yang paling sederhana dari benda-benda. Dengan simbolisme abstrak ilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukkan bentuknya saja mazhab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari pelbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung mazhab tersebut merumuskan matematik sebagai ilmu tentang sistem – sistem formal. (Mathematics is the science of formal system).
3). Mazhab landasan matematik Intuitionisme
Mazhab landasan matematik intuitionisme dipelopori oleh ahli matematik Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematik adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalil – dalil matematik tereletak dalam akal manusia (human intellect) dan tidak pada simbol-simbol diatas kertas sebagaimana diyakini oleh mazhab intuitionisme matematik berlandaskan suatu ilham dasar mengenai kemungkinan untuk membangn sebuah seri bilangan yang terbatas .
C. Cabang Filsafat Matematika
Filsafat matematik terbagi dalam beberapa bidang sebagai berikut:
1). Epistemologi matematika
Epistemologi matematik adalah teori pengetahuan yang sasaran penelaahannya ialah pengetahuuan matematik. Epistemologi matematik sebagai salah satu bagian dari filsafat merupakan pemikiran reflektif terhadap berbagai segi dari pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat alami, batas-batas, asumsi dan landasan, validitas dan reliabilitas sampai kebenaran pengetahuan. Sekelompok pertanyaan mengenai apakah matematik itu, termasuk jenis pengetahuan apa, bagaimana ciri-cirinya, kesemuanya ini dibahas dalam epistemologi matematik.
2). Ontologi matematika
Ontologi dipandang sebagai teori mengenai apa yang ada. Hubungan antara pandangan ontologis dengan matematik cukup banyak menimbulkan persoalan-persoalan yang dibahas oleh sebagian filsuf matematik. Pandangan realisme empirik menjawab bahwa cakupan termaksud merupakan suatu realitas. Eksistensi dari entitas-entitas matematik juga menjadi bahan emikiran filsafati.
3). Metodologi matematika
Metodologi matematika adalah penelaah terhadap metode yang khusus dipergunakan dalam matematik. Menurut Alfred Tarski bidang sytudi ini dikenal dengan sebutan yang berkali-kali berubah, semu;la methodology of deductive sciences (metodologi ilmu-ilmu deduktif), kemudian digan ti dengan theory of proof (teori pembuktian) dan selanjutnya meta-logic da meta-mathematics, sedangkan akhir-akhir ini uncul logical syntax and semantis of deductive sciences (sintak logis dan semantik dari ilmu-ilmu deduktif).Metode yang khusus dari matematik dikenal sebagai axiomatic method (metode aksiomatik) atau hypotecal-deductive method (metode hipotetik-deduktif).
4). Logical structure dari matematika
Logical structure dari matematika merupakan bagian dari filsafat matematik yang membahas sasarannya sebagai sebuah struktur yang sepenuhnya bercorak logis. Struktur yang demikian tunduk pada kaidah-kaidah logika, mensyaratkan standar tinggi dalam ketelitian logis, dan mencapai kesimpulan-kesimpulan logis tanpa menghiraukan keadaan syaratny dari dunia empirik. Dari segi struktur yang demikian maka matematik didefiniasikan ebagi sebuah kumpulan dari sistem-sisytem yang lgis (logical system). Jadi sifat alami dari matematik ialah logis dan bahkan penulisan dalam bidang pengetahuan matematik perlu pula dengan gaya yang logis.
5). Implikasi etis dari matematika
Perkembangan matematika yang sangat luas dan kemajuannya yang luar biasa pesat dalam abad ini mau tidak mau mempunyai implikasi-implikasi tertentu bagi perilaku manusia terutama yang bersifat etis dalam masyarakat. Sebagai contoh,misalnya perkembangan aritmatik peduaan(binary arithmetic) yang berpadu dengan tekhnologi elektronik yang telah melahirkan macam-macam komputer untuk aneka ragam tugas untuk menyimpan data-data perseorangan, melakukan pembukuan uang, mengatur persediaan barang, menyiapkan surat-menyurat, sampai menjual karcis tontonan.
6). Aspek estetik dari matematika
Dalam kepustakaan matematika tidak jarang matematik dipandang sebagai suatu seni (art). Dan karena matematik merupakan suatu karya seni,matematik pada dirinya mengandung keindahan. Keindahan itu dapat tercapai karena adanya ide yang orisinil, kesederhanaan dalil, kecermelangan jalan pikiran atau suatu ciri lainnya dalam matematik. Ciri seni dan sifat indah merupakan aspek estetis dari matematik yang juga di telaah oleh filsafat metematika.
D. Matematika sebagai bahasa
Menurut Galileo Galilei (1564-1642), seorang ahli matematika dan astronomi dari Italia,"Alam semesta itu bagaikan sebuah buku raksasa yang hanya dapat dibaca kalau orang mengerti bahasanya dan akrab dengan lambang dan huruf yang digunakan di dalamnya. Dan bahasa alam tersebut tidak lain adalah matematika. Berbicara mengenai matematika sebagai bahasa, maka pertanyaan yang muncul kemudian adalah dalam sudut pandang mana matematika itu disebut sebagai bahasa, dan apa perbedaan antara bahasa matematika dengan bahasa-bahasa lainnya.
Merujuk pada pengertian bahasa di atas, maka matematika dapat dipandang sebagai bahasa karena dalam matematika terdapat sekumpulan lambang/simbol dan kata (baik kata dalam bentuk lambang, misalnya ">=" yang melambangkan kata "lebih besar atau sama dengan", maupun kata yang diadopsi dari bahasa biasa, misalnya kata "fungsi" yang dalam matematika menyatakan suatu hubungan dengan aturan tertentu antara unsur-unsur dalam dua buah himpunan).
Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Simbol-simbol matematika bersifat "artifisial" yang baru memiliki arti setelah sebuah makna diberikan kepadanya. Tanpa itu, maka matematika hanya merupakan kumpulan simbol dan rumus yang kering akan makna. Berkaitan dengan hal ini, tidak jarang kita jumpai dalam kehidupan, banyak orang yang berkata bahwa X, Y, Z itu sama sekali tidak memiliki arti.
Sebagai bahasa, matematika memiliki kelebihan jika dibanding dengan bahasa-bahasa lainnya. Bahasa matematika memiliki makna yang tunggal sehingga suatu kalimat matematika tidak dapat ditafsirkan bermacam-macam. Ketunggalan makna dalam bahasa matematika ini, penulis menyebutnya bahasa matematika sebagai bahasa "internasional", karena komunitas pengguna bahasa matematika adalah bercorak global dan universal di semua negara yang tidak dibatasi oleh suku, agama, bangsa, negara, budaya, ataupun bahasa yang mereka gunakan sehari-hari. Bahasa yang dipakai dalam pergaulan sehari-hari sering mengandung keraguan makna di dalamnya. Kerancuan makna itu dapat timbul karena tekanan dalam mengucapkannya ataupun karena kata yang digunakan dapat ditafsirkan dalam berbagai arti.Bahasa matematika berusaha dan berhasil menghindari kerancuan arti, karena setiap kalimat (istilah/variabel) dalam matematika sudah memiliki arti yang tertentu. Ketunggalan arti itu mungkin karena kesepakatan matematikawan atau ditentukan sendiri oleh penulis di awal tulisannya. Orang lain bebas menggunakan istilah/variabel matematika yang mengandung arti berlainan. Namun, ia harus menjelaskan terlebih dahulu di awal pembicaraannya atau tulisannya bagaimana tafsiran yang ia inginkan tentang istilah matematika tersebut. Selanjutnya, ia harus taat dan tunduk menafsirkannya seperti itu selama pembicaraan atau tulisan tersebut.
Bahasa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang dari matematika dibuat secara artifisial dan individual yang merupakan perjanjian yang berlaku khusus suatu permalahan yang sedang dikaji. Suatu obyek yang sedang dikaji dapat disimbolkan dengan apa saja sesuai dengan kesepakatan kita (antara pengirim dan penerima pesan). Kelebihan lain matematika dipandang sebagai bahasa adalah matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif.
Matematika memungkinkan suatu ilmu atau permasalahan dapat mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif. Perkembangan ini merupakan suatu hal yang imperatif bila kita menghendaki daya prediksi dan kontrol yang lebih tepat dan cermat dari suatu ilmu. Beberapa disiplin keilmuan, terutama ilmu-ilmu sosial, agak mengalami kesukaran dalam perkembangan yang bersumber pada problem teknis dan pengukuran. Kesukaran ini secara bertahap telah mulai dapat diatasi, dan akhir-akhir ini kita melihat perkembangan yang menggermbiarakan, di mana ilmu-ilmu sosial telah mulai memasuki tahap yang bersifat kuantitaif. Pada dasarnya matematika diperlukan oleh semua disiplin keilmuan untuk meningkatkan daya prediksi dan kontrol dari ilmu tersebut.
Bagi dunia keilmuan, matematika memiliki peran sebagai bahasa simbolik yang meungkinkan terwujudnya komunikasi yang cermat dan tepat. Matematika dalam hubungannya dengan komunikasi ilmiah mempunyai perang anda yakni sebagi ratu dan sekaligus sebagai pelayan ilmu. Di satu sisi, sebagai ratu matematika merupakan bentuk tertinggi dari logika, sedangkan di sisi lain, sebagai pelayan matematika memberikan bukan saja sistem pengorganisasian ilmu yang bersifat logis namun juga pernyataan-pernyataan dalam bentuk model matematik. Matematika bukan saja menyampaikan informasi secara jelas dan tepat namun juga singkat. Suatu rumus yang jikat ditulis dengan bahasa verbal membutuhkan rentetan kalimat yang banyak sekali, di mana makin banyak kata-kata yang dipergunakan maka makin besar pula peluang untuk terjadinya salah informasi dan salah interpretasi, maka dalam bahasa matematika cukup diulis dengan model yang sederhana sekali. Dalam hal ini, menurut Morris Kline, menambahkan bahwa ciri bahasa matematika yaitu bersifat ekonomis.Pemodelan matematika merupakan akibat dari penyelesaian permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari yang diselesaikan menggunakan matematika. Masalah nyata dalam kehidupan biasanya timbul dalam bentuk gejala-gejala yang belum jelas hakikatnya. Kita masih harus membuang faktor-faktor yang tidak/kurang relevan, mencari data-data dan informasi tambahan, lalu kita menemukan hakikat masalah sebenarnya. Langkah ini dinamakan sebagai mengidentifikasi masalah. Misalnya seorang pasien datang ke dokter dengan keluhan kepalanya pusing dan perut sakit. Berdasarkan keluhan itu dokter mengadakan beberapa tes dan dengan pengalaman dan dasar ilmunya, ia akan mengadakan analisis, lalu memberikan diagnosis. Diagnosis inilah merupakan identifikasi masalah. Langkah selanjutnya setelah mengidentifikasi masalah, maka melalui beberapa pendefinisian diadakan penerjemahan masalah ke bahasa lambang, yaitu matematika. Penerjemahan ini disebut pemodelan matematika. Setelah model matematika jadi, maka dicari alat yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Pemodelan inilah yang menjadi kunci dalam penerapan matematika. Memodelkan masalah ke dalam bahasa matematika berarti menirukan atau mewakili objek yang bermasalah dengan relasi-relasi matematis. Istilah faktor dalam masalah menjadi peubah atau variabel dalam matematika. Pada hakikatnya, kerja pemodelan tidak lain adalah abstraksi dari masalah nyata menjadimasalah(model) matematika
Selain sebagai bahasa, matematika juga berfungsi sebagai alat berpikir. Ilmu merupakan pengetahuan yang mendasarkan kepada analisis dalam menarik kesimpulan menurut suatu pola berpikir tertentu. Menurut Wittegenstein, matematika merupakan metode berpikir yang logis. Berdasarkan perkembangannya maka masalah yang dihadapi logika makin lama makin rumit dan membutuhkan struktur analisis yang lebih sempurna. Dalam perspektif inilah maka logika berkembang menjadi matematika, sebagaimana yang disimpulkan oleh Bertrand Russell, "matematika adalah masa kedewasaan logika, sedangkan logika adalah masa kecil matematika". Komunikasi yang terjadi dalam matematika dapat terjadi, di antaranya dalam:
1) Dunia nyata, ukuran dan bentuk lahan dalam dunia pertanian (geometri), banyaknya barang dan nilai uang logam dalam dunia bisnis dan perdagangan (bilangan), ketinggian pohon dan bukit (trigonometri), kecepatan gerak benda angkasa (kalkulus), peluang dalam perjudian (probabilitas), sensus dan data kependudukan (statistika), dan sebagainya.
2). Struktur abstrak dari suatu sistem, antara lain struktur sistem bilangan (grup, ring), struktur penalaran (logika matematika), struktur berbagai gejala dalam kehidupan manusia (pemodelan matematika), dan sebagainya.
3).Matematika sendiri yang merupakan bentuk komunikasi matematika yang digunakan untuk pengembangan diri matematika. Bidang ini disebut "metamatematika".
Jadi, sejak awal kehidupan manusia matematika itu merupakan alat bantu untuk mengatasi berbagai macam permasalahan yang terjadi dalam kehidupan masyarakat. Baik itu permasalahan yang masih memilki hubungan erat dalam kaitannya dengan ilmu eksak ataupun permasalahan-permasalahan yang bersifat sosial. Peranan matematika terhadap perkembangan sains dan teknologi sudah jelas, bahkan kalu boleh penulis katakan bahwa tanpa matematika, sains dan teknologi tidak akan dapat berkembang.
E). Metode filsafat matematik
1. Metode reductio ad absurdum
Metode ini dikembangkan oleh Zeno, salah seorang murid Parmenides. Zeno sering disebut sebagai Bapak Metafisika Barat yang pertama. Metode ini adalah metode yang ingin meraih kebenaran, dengan membuktikan kesalahan premis-premis lawan, yang caranya dengan mereduksi premis lawan menjadi kontradiksi sehingga kesimpulannya menjadi mustahil. Inilah reductio ad absurdum.
Zeno mengikuti argumentasi Parmenides tentang monisme realitas. Argumentasi Zeno ini dipakai untuk mempertahankan serangan dari ide pluralisme. Zeno mengatakan seandainya ada banyak titik yang terdapat di antara titik A dan B, berarti kita harus mengakui adanya titik-titik yang tak terbatas di antara A dan B. Jika titiknya tak terbatas, jarak tak terbatas antara A dan B tidak mungkin tercapai. Tapi jika ada orang yang bisa berjalan dari A ke B, itu berarti jarak A dan B dapat dilintasi. Jika A ke B bisa dilintasi berarti jarak A dan B terbatas. Jadi jika kita menarik hipotesis mula yang mengatakan bahwa ada banyak titik yang terdapat di antara titik A dan titik B adalah salah. Maka, pluralitas adalah absurd, mustahil dan tidak masuk akal.
Parmenides pernah mengatakan bahwa tidak ada ruang kosong, yang berarti bahwa yang ada tidak berada dalam ada yang lain karena yang ada pasti mengisi seluruh tempat. Zeno melengkapi argumentasi itu dengan pernyataan: jika ada ruang kosong, ruang kosong itu berada dalam ruang kosong yang lain dan ruang kosong yang lain itu berada dalam ruang kosong yang lain pula dan seterusnya sampai tak terbatas. Itu artinya akan ada senantiasa ruang dalam ruang. Oleh karena itu, jika dikatakan bahwa yang ada berada dalam ada yang lain, jelas bahwa pernyataan itu tidak benar. Yang benar adalah yang ada tidak berada dalam ada yang lain. Tegasnya, ruang kosong itu tidak mungkin berada dalam ruang kosong yang lain karena yang ada itu senantiasa mengisi seluruh tempat sehingga hipotesis yang mengatakan bahwa ruang kosong itu ada adalah suatu yang mustahil.
Zeno menambahkan jika ruang kosong itu tidak ada, berarti gerak tidak ada. Ini karena jika dikatakan bahwa gerak itu ada, berarti bahwa ruang kosong harus ada karena gerak dimungkinkan jika ada ruang kosong. Zeno membuktikan hal itu dengan empat contoh terkemuka: dikotomi paradoks, Akhiles - si pelari, Anak panah dan Benda yang bergerak bertentangan.
Metode Zeno ini memberikan nilai abadi bagi filsafat karena tidak ada pernyataan yang melahirkan pertentangan yang dianggap benar. Hukum tidak ada pertentangan ini merupakan prinsip fundamental dalam logika. Metode Zeno ini berguna dalam orasi dan perdebatan yang rasional dan logis. Zeno adalah orang pertama yang juga menggunakan metode dialektik, dalam arti bahwa orang mencari kebenaran lewat perdebatan dan bersoal secara sistematis.
2. Metode silogisme deduktif
Metode ini dikembangkan oleh Aristoteles. Aristoteles menyatakan bahwa ada dua metode yang dapat digunakan untuk menarik kesimpulan yang benar, yaitu metode induktif dan deduktif. Induksi adalah cara menarik kesimpulan yang bersifat umum dari hal yang khusus. Deduksi adalah cara menarik kesimpulan berdasarkan dua kebenaran yang pasti dan tak diragukan lagi. Induksi berawal dari pengamatan dan pengetahuan inderawi. Sementara, deduksi terlepas dari pengamatan dan pengetahuan inderawi.Aristoteles dalam filsafat Barat dikenal sebagai Bapak Logika Barat. Logika adalah salah satu karya filsafat besar yang dihasilkan oleh Aristoteles.Sebenarnya, Logika tidak pernah digunakan oleh Aristoteles. Logika dimanfaatkan untuk meneliti argumentasi yang berangkat dari proposisi-proposisi yang benar, yang dipakainya istilah analitika. Adapun untuk meneliti argumentasi-argumentasi yang bertolak dari proposisi-proposisi yang diragukan kebenarannya, dipakainya istilah dialektika.Inti logika adalah silogisme. Silogisme adalah alat dan mekanisme penalaran untuk menarik kesimpulan yang benar berdasarkan premis-premis yang benar adalah bentuk formal penalaran deduktif. Deduksi, menurut Aristoteles, adalah metode terbaik untuk memperoleh kesimpulan untuk meraih pengetahuan dan kebenaran baru. Itulah metode silogisme deduktif.Silogisme adalah bentuk formal deduksi. Silogisme mempunyai tiga proposisi. Proposisi pertama dan kedua disebut premis. Proposisi ketiga disebut kesimpulan yang ditarik dari proposisi pertama dan kedua. Tiap proposisi mempunyai dua term. Maka, setiap silogisme mempunyai enam term. Karena setiap term dalam satu silogisme biasa disebut dua kali, maka dalam setiap silogisme hanya mempunyai tiga term. Apabila proposisi yang ketiga disebut kesimpulan, maka dalam proposisi yangketiga terdapat dua term dari ketiga term yang disebut tadi. Yang menjadi subjek konklusi disebut term minor. Predikat kesimpulan disebut term mayor. Term yang terdapat pada dua proposisi disebut term tengah.Pola dan sistematika penalaran silogisme-deduktif adalah penetapan kebenaran universal kemudian menjabarkannya pada hal yang lebih khusus.
3. Metode skeptisisme
Metode Skeptisisme ini dikembangkan oleh Rene Descartes. Dalam bidang matematika, Rene Descartes memadukan prinsip geometri dan aritmatika dengan menggunakan prinsip rumus aljabar yang kemudian dikenal dengan koordinat kartesian.
Awal filsafat Descartes adalah kebingungan. Filsafat begitu beragam dan dianggap Descartes sebagai ilmu yang simpang siur serta penuh dengan kontradiksi. Dalam kebingungannya, Descartes merasa harus berbuat lebih untuk penyempurnaan filsafat. Ia mencoba menyusun ilmu induk yang mengatasi seluruh ilmu pengetahuan dengan metode ilmiah yang bersifat umum dan cocok digunakan dalam segala ilmu. Logika Aristoteles tidak bermanfaat karena lewat logika itu tidak tercapai pengetahuan yang baru. Descartes mencoba untuk melepaskan diri dari ajaran-ajaran tradisional agar ia bisa memperbaharui filsafat dan ilmu pengetahuan.
F). Aliran Filsafat Matematika
1. Aliran Absolutism
Yang termasuk aliran absolutism adalah sekolah logicist, formalist dan intuitionist. Pada sekolah-sekolah tersebut tidak ada filsafat matematika. Tujuan pengajaran mereka seharusnya berdasarkan kepada filsafat matematika, termasuk unsur luar sosial dan unsur sejarah, seperti pemanfaatan matematika dan keberadaannya. Karena kefanatikannya, sekolah–sekolah tersebu tidak dapat memberikan sumbangan secara lebih luas atas dasar matematika. Jadi, mereka tidak hanya gagal dalam menentukan dasar-dasar tujuan, tetapi juga tidak dapat memberi aspek filsafat matematika.
- Aliran progressif absolutism
Bentuk aliran lain dari aliran absolutism dalam matematika dapat didefinisikan sepeti apa yang terjadi pada filsafat sains, Confrey (1983) membedakan antara aliran filsafat formal absolutist dan filsafat progressif absolutist.
- Aliran Conventionalism
Aliran ini berpandangan bahwa pengetahuan matematika dan kebenaran berlabdaskan kepada kesepakatan bahasa. Secara khusus kebenaran matematika dan logika adalah bersifat analitik, dan kebenaran ditentukan oleh arti dari istilah yang terkandung. Tokoh dari aliran ini adalah Quine (1936) dan Hempel (1945) .
- Aliran Empiricism
Aliran ini berpendapat bahwa hakekat matematika adalah pengambilan kesimpulan berdasar atas langkah-langkah empiris. Aliran ini dibedakan menjadi 2 macam thesis, yaitu:
1. pemahaman matematika mempunyai landasa secara empiris
2. kebenaran matematika mempunyai pembenaran secara empiris yaitu diturunkan dari pengamatan terhadap benda-benda konkrete
G). Matematika Sebagai Ilmu Deduktif
Ilmu-ilmu deduktf adalah ilmu –ilmu matematik. Dlam hal ini sesungguhnya dalil-dalil tidaklah dibuktikan kebenmarannya melalui penyelidikan empiric., melainkan melaui penjabaran dalil-dalil yang sudah diperoleh sebelimnya, dan yang terakhir ini pada gilirannya juga dibuktikan kebenarannya dari dalil yang sudah ada sebelumnya, dan begitu setrusnya. Dalil –dalil matematik dibuktikan kebenarannya berdasarkan atas dalil-dalil yang lain, dan bukannya berdasarkan atas pengamatan. Kiranya jelas bahwa secara emikian orang tidak akan dapat bertanya secara tidak terbatas. Sudah pasti pada suatu saat tertentu orang harus memulai dengan dalil-dalil yang diterima kebenarannya tanpa bukti, yaitu aksioma-aksioma atau postulat-postulat.
Perumusan matematika tidak selesai dengan ditentukannya hubungan, pola, bentuk, dan rakitan sebagi sasarannya. Keempat sasaran itu hanyalah semakin menegaskan bahwa matematika menyangkut pengertian-pengertian abstrak. Dalam matematika dewasa ini, sifat-sifat dari pengertian-pengertian abstrak itulah yang ditelaah. Bahkan menurut Salomon Bochner,matematika tidak berhubungan dengan perwujudan-perwujudan dan benda-benda dari dunia luar, melainkan hanya dengan hal-hal dan hubungan-hubungan yang merupakan gambaran-gambaran yang diciptakannya sendiri. Dengan ini lahirlah pendapat yang menganggap matematika sebagai “the study of abstract system, i.e., as the study of ‘game’ which are played with abstract object whose behavior is characterized with given sets of rules” (penelaahan tentang system-sistem abstrak, yakni sebagai penelaah tentang ‘permainan-permainan’ yang dimainkan dengan sasaran-sasaran abstrak yang perilakunya dirincikan dengan kumpulan-kumpulan aturan yang ditentukan).
Pendapat itu sesuai dengan pendirian filsuf Charles Sander Pierce (1839-1941) yang menyatakan bahwa matematika tidak berhubungan dengan keadaan senyatanya dari benda-benda, melainkan semata-mata dengan keadaan pengandaian dari benda-benda. Batasan tentang matematika berbunyi sebagai berikut: “Mathematics is the study of what is true of hypothetical state of things. That is its essence and definition” (matematika adalah penelaahan tenatang apa yang benar mengenai keadaan pengandaian dari benda-benda. Itulah saripati dan batasannya).
Dengan demikian, matematika tergolong sebagai ilmu yang bersifat abstrak atau seringkali disebut matematika murni. Karena cirri-cirinya yang abstrak dan murni itu, Bertrand Russell membuat perumusan dalam 1901 yang sampai sekarang terkenal dan bunyinya sebagai berikut:
“Thus mathematics may be defined as subject in which we never know we are talking about nor whwther what we are saying is true.”
(Dengan demikian, matematika dapat didefinisikan sebagai mata pelajaran yang didalamnya kita tidak pernah mengetahui apa yang sedang kita bicarakan maupun apakah yang kita katakana adalah benar)
Makna perumusan Russel itu adalah bahwa setiap system matematika sebagai landasannya yang berpangkat pada unsur-unsur yang tidak diterangkan lebih lanjut. Dengan kata lain, semua perumusan dalam matematika pada akhirnya didasarkan pada istilah-istilah yang tidak diuraikan artinya. Istilah-istilah itu dalam bentuk lambang-lambang balaka tidak memiliki arti dari dunia nyata. Oleh karena itu, para ahli matematika tidak mengetahui apa yang sedang dibicarakan dalam matematika. Sebagai contoh, misalnya apabila orang memperbincangkan tentang (x+y)2=x2+2xy+y2, ia tidak mengetahui apa isinya lambing x dan y itu selama bergerak dalam bidang matematika abstrak.
Selanjutnya dalam melakukan langkah-langkah pengerjaan terhadap istilah-istilah yang tak diuraikan artinya, para ahli matematika manbuat kesimpulan-kesimpulan atau pembuktian-pembuktian berdasarkan mermagai pernyataan yang telah ditetapkan dimuka. Pada tahap terakhir mereka terpaksa harus berhenti pada pernyataan-pernyataan yang tak dibuktikan. Pernyataan-pernyataan yang tidak dibuktikan ini dinamakan aksioma atau postulat. Misalnya pernyataan bahwa “melalui dua titik yang berbeda hanya dapat ditarik satu dan hany satu garis lurus”. Oleh karena itu, dalam matematika murni apabila para ahli membuat kesimpulan atau menyusun dalil-dalil dari aksioma/postulat itu, mereka juga tidak mengetahui apakah yang dikatakan itu benar atau tidak dalam hubungannya dengan dunia nyata. Kesimpulan atau dalil ini hanyalah berlaku sesuai dengan deduksi yang dijalankan menurut hokum-hukum logika.
Dari uraian tersebut diatas ternyata matematika selain merupakan suatu ilmu yang bersifat abstrak juga bersifat deduktif. Sebagai ilmu yang dedukti, hal yang lebih utama bagi matematika bukanlah sasaran-sasaranya, melaikan metode logika atau metode pembuataan kesimpulan yang dipakai. Oleh karena itu, dalam abad 20 ini terdapat pendirian yang memandang matematika sebagai metode pemikiran. Dalam pernyaaan Morris Kline:
“Primarily, mathematics is amethod of inquiry known as postulation thinking. The method consists in carefully formulating definitions of the concepts to be discussed and in explicitly stating the assumptions that shall be the basis for reasoning. From these definitions and assumptions conclusions are deduced by the application of the most rigorous logic man is capable of using”.
(Terutama matematika adalah suatu metode penyelidikan yang dikenal sebagai pemikiran berdasarkan postulat. Metode ini terdiri dari merumuskan secara seksama definisi-definisi tentang pengertian-pengertian yang akan dibahas dan menyebutkan secara tegas patokan berfikir yang akan merupakan dasar bagi penalaran. Dari definisi-definisi dan patokan berfikir ini dturunkanlah kesimpulan-kesimpulan dengan menerapkan logika paling ketat yang mungkin dipakai orang).
DAFTAR PUSTAKA
C.A.Van Peursen.1985.Orientasi di Alam Filsafat.Jakarta:Gramedia
The Liang Gie.1985.Filsafat matematika.Yogyakarta:Supersukses
Marsigit.2001.Filsafat Pendidikan Matematika.Yogyakarta
Tidak ada komentar:
Posting Komentar